${\int }_0^1 \frac{\mathrm{dx}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}\mathrm{dx}$ is equal to

Solution:

$\begin{array}{l}{\int }_0^1 \frac{\mathrm{dx}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}={\int }_0^1 \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+1}\mathrm{dx}\\ \text{ Let }\mathrm{t}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\Rightarrow \mathrm{dt}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\\ ={\int }_1^{\mathrm{e}} \frac{\mathrm{dt}}{{\mathrm{t}}^2+1}={\left[{\tan }^{-1}\mathrm{t}\right]}_1^{\mathrm{e}}\\ ={\tan }^{-1}\mathrm{e}-{\tan }^{-1}\left(1\right)={\tan }^{-1}\mathrm{e}-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\end{array}$