${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}} \sqrt{\frac{\mathrm{a}-\mathrm{x}}{\mathrm{a}+\mathrm{x}}}\mathrm{dx}$ is equal to

Solution:

$\begin{array}{l}\mathrm{I}={\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}} \sqrt{\frac{\mathrm{a}-\mathrm{x}}{\mathrm{a}+\mathrm{x}}}\mathrm{dx}={\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}} \frac{\mathrm{a}-\mathrm{x}}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx}\\ =\mathrm{a}{\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}} \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2}}-{\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}} \frac{\mathrm{xdx}}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2}}=\mathrm{a}\cdot 2{\int }_0^{\mathrm{a}} \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2-{\mathrm{x}}^2}}-0 \left(\because \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\text{ is an odd function }\right)\\ =2\mathrm{a}{\left[{\sin }^{-1}\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right]}_0^{\mathrm{a}}\\ \Rightarrow 2\mathrm{a}\left[{\sin }^{-1}\left(1\right)-{\sin }^{-1}\left(0\right)\right]=\mathrm{\pi a}\end{array}$