$\int \frac{\cos \mathrm{x}-1}{\sin \mathrm{x}+1}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}$ is equal to 

Solution:

$\begin{array}{l}\int \frac{\cos \mathrm{x}-1}{\sin \mathrm{x}+1}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\\ =\int \frac{\cos \mathrm{x}}{1+\sin \mathrm{x}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}-\int \frac{1}{1+\sin \mathrm{x}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\\ =\frac{(\cos \mathrm{x}){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{1+\sin \mathrm{x}}-\int \frac{-(1+\sin \mathrm{x})\sin \mathrm{x}-{\cos }^2\mathrm{x}}{(1+\sin \mathrm{x}{)}^2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}-\int \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{\sin \mathrm{x}+1}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ \\ =\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\cos \mathrm{x}}{1+\sin \mathrm{x}}+\int \frac{1}{1+\sin \mathrm{x}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}-\int \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{1+\sin \mathrm{x}}\mathrm{dx}+\mathrm{C}\\ =\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\cos \mathrm{x}}{1+\sin \mathrm{x}}+\mathrm{C}\end{array}$