For natural numbers m, n, if $(1-\mathrm{y}{)}^{\mathrm{m}}(1+\mathrm{y}{)}^{\mathrm{n}}=1+{\mathrm{a}}_1\mathrm{y}+{\mathrm{a}}_2{\mathrm{y}}^2+\dots$$\mathrm{and} {\mathrm{a}}_1={\mathrm{a}}_2=10, \mathrm{then} (\mathrm{m},\mathrm{n}) \mathrm{is}$

Solution:

$(1-\mathrm{y}{)}^{\mathrm{m}}(1+\mathrm{y}{)}^{\mathrm{n}}=1+{\mathrm{a}}_1\mathrm{y}+{\mathrm{a}}_2{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{a}}_3{\mathrm{y}}^3+\dots$On differentiating w.r.t. y, we get $-\mathrm{m}(1-\mathrm{y}{)}^{\mathrm{m}-1}(1+\mathrm{y}{)}^{\mathrm{n}}+(1-\mathrm{y}{)}^{\mathrm{m}}\mathrm{n}(1+\mathrm{y}{)}^{\mathrm{n}-1}$

$={\mathrm{a}}_1+2{\mathrm{a}}_2\mathrm{y}+3{\mathrm{a}}_3{\mathrm{y}}^2+\dots ----\left(\mathrm{i}\right)$

On putting y =0 in Eq. (i), we get $-\mathrm{m}+\mathrm{n}={\mathrm{a}}_1=10$      $\left[\because {\mathrm{a}}_1=10, \mathrm{given} \right]\dots ..(\mathrm{ii})$

On again differentiating Eq. (i), we get

$\begin{array}{r}-\mathrm{m}\left[-(\mathrm{m}-1)(1-\mathrm{y}{)}^{\mathrm{m}-2}(1+\mathrm{y}{)}^{\mathrm{n}}+(1-\mathrm{y}{)}^{\mathrm{m}-1}\mathrm{n}(1+\mathrm{y}{)}^{\mathrm{n}-1}\right]\\ +\mathrm{n}\left[-\mathrm{m}(1-\mathrm{y}{)}^{\mathrm{m}-1}(1+\mathrm{y}{)}^{\mathrm{n}-1}+(1-\mathrm{y}{)}^{\mathrm{m}}(\mathrm{n}-1\left)\right(1+\mathrm{y}{)}^{\mathrm{n}-2}\right]\end{array}$

$=2{\mathrm{a}}_2+6{\mathrm{a}}_3\mathrm{y}+\dots .........\left(\mathrm{iii}\right)$

On putting Y= 0 in Eq. (iii), we get 

$\begin{array}{l}-\mathrm{m}[-(\mathrm{m}-1)+\mathrm{n}]+\mathrm{n}[-\mathrm{m}+(\mathrm{n}-1\left)\right]=2{\mathrm{a}}_2=20\\ \Rightarrow \mathrm{m}(\mathrm{m}-1)-\mathrm{mn}-\mathrm{mn}+\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)=20\\ \Rightarrow {\mathrm{m}}^2+{\mathrm{n}}^2-\mathrm{m}-\mathrm{n}-2\mathrm{mn}=20\\ \Rightarrow (\mathrm{m}-\mathrm{n}{)}^2-(\mathrm{m}+\mathrm{n})=20\\ \Rightarrow 100-(\mathrm{m}+\mathrm{n})=20\\ \Rightarrow \mathrm{m}+\mathrm{n}=80 -------\left(\mathrm{iv}\right)\end{array}$

On solving Eqs. (ii) and (iv), we get 

m=35and n=45