For $\left|\mathrm{x}\right|<1,\mathrm{let} \mathrm{y}=1+\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2+\dots \mathrm{to} \infty ,$then $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$is equal to 

Solution:

$\begin{array}{l}\because \mathrm{y}=1+\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^2+\dots \mathrm{\infty }\\ \therefore \mathrm{y}=\frac{1}{1-\mathrm{x}}=(1-\mathrm{x}{)}^{-1}\end{array}$

On differentiating w.r.t. x, we get

$\begin{array}{l}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\frac{1}{(1-\mathrm{x}{)}^2}(-1)=\frac{1}{(1-\mathrm{x}{)}^2}\\ \therefore \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-\mathrm{y}=\frac{1}{(1-\mathrm{x}{)}^2}-\frac{1}{(1-\mathrm{x})}=\frac{1-1+\mathrm{x}}{(1-\mathrm{x}{)}^2}=\frac{\mathrm{x}}{(1-\mathrm{x}{)}^2}\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-\mathrm{y}={\mathrm{xy}}^2\Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{xy}}^2+\mathrm{y}\end{array}$