If the mean of the set of numbers ${\mathrm{x}}_1,{\mathrm{x}}_2,\dots ,{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\text{ is }\overline{\mathrm{x}}$, then the mean of the numbers ${\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}+2\mathrm{i},1\le \mathrm{i}\le \mathrm{n}$ is

Solution:

$\begin{array}{l}\overline{\mathrm{x}}=\frac{1}{\mathrm{n}}\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} {\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}\\ \Rightarrow \sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} {\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}=\mathrm{n}\overline{\mathrm{x}}\\ \text{ Let }\mathrm{M}=\frac{1}{\mathrm{n}}\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \left({\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}+2\mathrm{i}\right)=\frac{1}{\mathrm{n}}\sum _{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} {\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}+\frac{2(1+2+\dots +\mathrm{n})}{\mathrm{n}}\\ \Rightarrow \mathrm{M}=\frac{1}{\mathrm{n}}\mathrm{n}\overline{\mathrm{x}}+2\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)}{2\mathrm{n}}\\ \therefore \mathrm{M}=\overline{\mathrm{x}}+(\mathrm{n}+1)\end{array}$