If$(1+\mathrm{x}{)}^{\mathrm{n}}={\mathrm{C}}_0+{\mathrm{C}}_1\mathrm{x}+{\mathrm{C}}_2{\mathrm{x}}^2+\dots +{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}$ them the value of ${\mathrm{C}}_0+2{\mathrm{C}}_1+3{\mathrm{C}}_2+\dots +(\mathrm{n}+1){\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$ will be

Solution:

Since, $\mathrm{x}(1+\mathrm{x}{)}^{\mathrm{n}}={\mathrm{xC}}_0+{\mathrm{C}}_1{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{C}}_2{\mathrm{x}}^3+\dots +{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}$ 

On differentiating w.r.t. x, we get 

$(1+\mathrm{x}{)}^{\mathrm{n}}+\mathrm{nx}(1+\mathrm{x}{)}^{\mathrm{n}-1}={\mathrm{C}}_0+2{\mathrm{C}}_1\mathrm{x}+3{\mathrm{C}}_2{\mathrm{x}}^2$$+\dots +(\mathrm{n}+1){\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}$

Put x = L, we get ${\mathrm{C}}_0+2{\mathrm{C}}_1+3{\mathrm{C}}_2+\dots +(\mathrm{n}+1){\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$

$=2^{\mathrm{n}}+\mathrm{n}{2}^{\mathrm{n}-1}=2^{\mathrm{n}-1}(\mathrm{n}+2)$