The AM of ${ }^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_0{,}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_1{,}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_2,\dots {,}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}$ is

Solution:

$\begin{array}{r}{ }^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_0{+}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_1{+}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_2+\dots {+}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{n}}{+}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{n}+1}\\ =2^{2\mathrm{n}+1}\end{array}$

Now $\begin{array}{r}{ }^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_0{=}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{n}+1},\\ { }^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_1{=}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{n}}{\dots }^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}{=}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{2\mathrm{n}-\mathrm{r}+1}\end{array}$

So, sum of first (n + 1 ) terms

= sum of last (n + 1 ) terms

$\begin{array}{l}\Rightarrow {}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_0{+}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_1{+}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_2+\dots {+}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}=2^{2\mathrm{n}}\\ \Rightarrow \frac{{ }^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_0{+}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_1{+}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_2+\dots {+}^{2\mathrm{n}+1}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}+1}=\frac{2^{2\mathrm{n}}}{(\mathrm{n}+1)}\end{array}$