The value of $\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\frac{1+{\mathrm{nx}}^{\mathrm{n}-1}-{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}}{\left(1-{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\right)\sqrt{1-{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}}}\mathrm{dx}$ is equal to 

Solution:

Let $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}}}{\left(1-{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\right)}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\mathrm{f}}^{\mathbf{\prime }}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\left(\sqrt{1-{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}\right)\left({\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{1+x^n}}.n{x}^{n-1}}\right)-\left(\sqrt{1+{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}\right){\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{1-x^n}}}.-n{x}^{n-1}}{\left(1-{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\right)}\\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(1-{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\right).n{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}+\left(1+{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\right).{\mathrm{nx}}^{\mathrm{n}-1}}{2\left(1-{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\right)\sqrt{1-{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}}}\\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{{\mathrm{nx}}^{\mathrm{n}-1}}{\left(1-{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\right)\sqrt{1-{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}}}\end{array}$

 $\begin{array}{l}\mathrm{I}=\int \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\left(1+{\mathrm{nx}}^{\mathrm{n}-1}-{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}\right)}{\left(1-{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\right)\sqrt{1-{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}}}\mathrm{dx}\\ =\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\left\{\frac{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}}}{1-{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}+\frac{{\mathrm{nx}}^{\mathrm{n}-1}}{\left(1-{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\right)\sqrt{1-{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}}}\right\}\mathrm{dx}\end{array}$   

         =$\int e^x\left[\left(f\right(x)+f\text{'}(x)\right]dx=e^{x}f\left(x\right)+c$

        $=e^x\frac{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^{2\mathrm{n}}}}{\left(1-{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\right)}+c$