Let $\mathrm{f}:\mathrm{R}\to \mathrm{R}$ be a positive increasing function with $\underset{x\to \infty }{\lim } \frac{\mathrm{f}\left(3\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=1$ . Then $\underset{\mathrm{x}\to \infty }{\lim } \frac{\mathrm{f}\left(2\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=$

Solution:

 $$\begin{gathered} \mathrm{we} \mathrm{have} \mathrm{x}<2\mathrm{x}<3x \\ \Rightarrow f\left(\mathrm{x}\right)<\mathrm{f}\left(2\mathrm{x}\right)<\mathrm{f}\left(3\mathrm{x}\right) \\ \Rightarrow 1<\frac{\mathrm{f}\left(2\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}<\mathrm{f}\frac{\left(3\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{\lim } 1<\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{\lim } \frac{\mathrm{f}\left(2\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}<\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{\lim } \frac{\mathrm{f}\left(3\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=1 \\ \therefore \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{\lim } \frac{\mathrm{f}\left(2\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=1 \end{gathered}$$