1 + 1.1! + 2.2! + 3.3! +......+n.n! is equal to

$$\begin{gathered} 1+\sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}} \mathrm{r} (\mathrm{r}!)=1+\sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}}\left((\mathrm{r}+1)-\mathrm{r}\right) \mathrm{r}! \\ =1+\sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}} (\mathrm{r}+1)!-\mathrm{r}! \\ =1+(2!-1!+3!-2!+ . . . + (\mathrm{n}+1)!-\mathrm{n}!) \\ =1+\left(\right(\mathrm{n}+1)!-1)=\boxed{(\mathrm{n}+1)!} \\ \mathrm{option} \left(3\right)\mathrm{is} \mathrm{correct}. \end{gathered}$$