$\int \frac{1}{(2x+1)\sqrt{x^2-x-2}}dx=$

$\int \frac{1}{(2\mathrm{x}+1)\sqrt{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-2}}\mathrm{dx} put 2x+1=\frac{1}{t}\Rightarrow 2dx=\frac{-1}{t^2}dt$

$\int \frac{1}{\frac{1}{\mathrm{t}}\sqrt{{\left(\frac{1-\mathrm{t}}{2\mathrm{t}}\right)}^2-\left(\frac{1-\mathrm{t}}{2\mathrm{t}}\right)-2}}\left(\frac{-1}{2{\mathrm{t}}^2}\mathrm{dt}\right)$

$\int \frac{-\mathrm{dt}}{\sqrt{{\mathrm{t}}^2-2\mathrm{t}+1-2\mathrm{t}+2{\mathrm{t}}^2-8{\mathrm{t}}^2}}$

$=\int \frac{-\mathrm{dt}}{\sqrt{-5{\mathrm{t}}^2-4\mathrm{t}+1}}$

$=\frac{-\mathrm{dt}}{\sqrt{5\left[{\left(\frac{3}{5}\right)}^2-{\left(\mathrm{t}+\frac{2}{5}\right)}^2\right.}}$

$=\frac{-1}{\sqrt{5}}\left[{\sin }^1\left(\frac{5\mathrm{t}+2}{3}\right)\right]+\mathrm{c}$

$=-\frac{1}{\sqrt{5}}{\sin }^{-1}\left(\frac{\frac{5}{2\mathrm{x}+1}}{3}+2\right)$

$=-\frac{1}{\sqrt{5}}{\sin }^{-1}\left(\frac{4\mathrm{x}+7}{6\mathrm{x}+3}\right)+\mathrm{c}$