${\left(1+x+x^2\right)}^8=a_0+a_{1}x+\mathrm{....}+$ $a_{16}{x}^{16}$  then   $a_1-a_3+a_5-a_7+\mathrm{....}{a}_{15}$

Given ${\left(1+x+x^2\right)}^8=a_0+a_{1}x+\mathrm{...}+a_{16}{x}^{16}$

    Put   $x=i$

$\Rightarrow {\left(1+i+i^2\right)}^8=a_0+a_1\left(i\right)+a_2\left(i^2\right)+a_3\left(i^3\right)+\mathrm{...}+a_{16}{i}^{16}$

$\Rightarrow i^8=a_0+a_{1i}-a_2-a_{3}i+\mathrm{...}+a_{16}\to \left(1\right)$

put   $x=-i$

$\Rightarrow {\left(1-i+{\left(-i\right)}^2\right)}^8=a_0-a_{1}i-a_2+a_{3}i+$$\mathrm{....}+a_{16}\to \left(2\right)$

Starting   $\left(1\right)-\left(2\right)\Rightarrow$

$i^8-i^8=a_0+a_{i}i-a_2-a_{3}i+\mathrm{..}+a_{16}$

$-a_0+{a_1}^i+a_2-a_{3}i$$+\mathrm{...}-a_{16}$

$\Rightarrow 0=2i\left(a_1-a_3+a_5-a_7+\mathrm{....}-a_{15}\right)$

$\Rightarrow a_1-a_3+\mathrm{....}-a_{15}=0$