$\int \left(\frac{10{\mathrm{x}}^9+{10}^{\mathrm{x}}{\log }_{\mathrm{e}}10}{{\mathrm{x}}^{10}+{10}^{\mathrm{x}}}\right)\mathrm{dx}$ is equal to

$\int \left(\frac{10{\mathrm{x}}^9+{10}^{\mathrm{x}}{\log }_{\mathrm{e}}10}{{\mathrm{x}}^{10}+{10}^{\mathrm{x}}}\right)\mathrm{dx}$

Let ${\mathrm{x}}^{10}+{10}^{\mathrm{x}}=\mathrm{t}\Rightarrow \left(10{\mathrm{x}}^9+{10}^{\mathrm{x}}{\log }_{\mathrm{e}}10\right)\mathrm{dx}=\mathrm{dt}$

$\begin{array}{r}\Rightarrow \mathrm{dx}=\frac{\mathrm{dt}}{10{\mathrm{x}}^9+{10}^{\mathrm{x}}{\log }_{\mathrm{e}}10}\\ \therefore \int \left(\frac{10{\mathrm{x}}^9+{10}^{\mathrm{x}}{\log }_{\mathrm{e}}10}{{\mathrm{x}}^{10}+{10}^{\mathrm{x}}}\right)\mathrm{dx}=\int \frac{10{\mathrm{x}}^9+{10}^{\mathrm{x}}{\log }_{\mathrm{e}}10}{\mathrm{t}}\times \frac{\mathrm{dt}}{10{\mathrm{x}}^2+{10}^{\mathrm{x}}{\log }_{\mathrm{e}}10}\\ \begin{array}{l}=\int \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}}=\log \left|\mathrm{t}\right|+\mathrm{C}\\ =\log \left|{10}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{x}}^{10}\right|+\mathrm{C}\end{array}\end{array}$