12   The values of a, band c such that ${\mathrm{Lim}}_{x\to 0} \frac{ax{e}^x-b \log (1+x)+cx.e^{-x}}{x^2\sin x}=2$ are given by

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{x}\to 0}{\mathrm{Lt}}\frac{\mathrm{a} \mathrm{x} {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} - \mathrm{b} \log (1+\mathrm{x})+\mathrm{cx} {\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{{\mathrm{x}}^2 \sin \mathrm{x}}=2 \\ \underset{\mathrm{x}\to 0}{\mathrm{Lt}} \frac{\mathrm{ax}\left(1+\frac{\mathrm{x}}{1!}+\frac{{\mathrm{x}}^2}{2!}+\frac{{\mathrm{x}}^3}{3!}+...\right)-\mathrm{b}\left(\mathrm{x}-\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}+\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}-\frac{{\mathrm{x}}^4}{4}+...\right)\underline{ +\mathrm{Cx}\left(1-\frac{\mathrm{x}}{1}+\frac{{\mathrm{x}}^2}{2!}-\frac{{\mathrm{x}}^3}{3!}+\frac{{\mathrm{x}}^4}{4!}....\right)}}{{\mathrm{x}}^3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{Dr} \to 0 \\ \mathrm{Coef} \mathrm{of} \mathrm{x}, \mathrm{Coef} \mathrm{of} {\mathrm{x}}^2 \mathrm{terms} \mathrm{are} \mathrm{zero} \\ \mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{c}=0 -\left(1\right) \\ \mathrm{a}+\frac{\mathrm{b}}{2}-\mathrm{c}=0 \Rightarrow 2\mathrm{a}+\mathrm{b}-2\mathrm{c}=0 -\left(2\right) \\ \frac{\mathrm{a}}{2}-\frac{\mathrm{b}}{3}+\frac{\mathrm{c}}{2}=2 \Rightarrow 3\mathrm{a}-2\mathrm{b}+3\mathrm{c}=12 -\left(3\right) \\ \mathrm{solving} \left(1\right), \left(2\right) \mathrm{and} \left(3\right) \\ \mathrm{a}=3, \mathrm{b}=12, \mathrm{c}=9 \end{gathered}$$