$1+\frac{2\mathrm{x}}{1!}+\frac{3{\mathrm{x}}^2}{2!}+\frac{4{\mathrm{x}}^3}{3!}+\dots \dots \infty =$

$\begin{array}{rcl} & & 1+\frac{2\mathrm{x}}{\overline{)\underline{1}}}+\frac{3{\mathrm{x}}^2}{\overline{)\underline{2}}}+\frac{4{\mathrm{x}}^3}{\overline{)\underline{3}}}+\dots \dots \infty \\ & =& \sum _1^{\infty }\frac{\mathrm{n} {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}}{\overline{)\underline{\mathrm{n}-1}}}\\ & =& \sum _1^{\infty }\frac{(\mathrm{n}-1) {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}+{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}}{\overline{)\underline{\mathrm{n}-1}}}\\ & =& \sum _1^{\infty }\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}}{\overline{)\underline{\mathrm{n}-2}}}+=\sum _1^{\infty }\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}}{\overline{)\underline{\mathrm{n}-1}}}\\ & =& \mathrm{x} {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}=(\mathrm{x}+1) {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\end{array}$