$\int \frac{1+\cos 4x}{cotx-Tanx}dx=$

$$\begin{gathered} \int \frac{1+\cos 4\mathrm{x}}{\cot \mathrm{x}-\tan \mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ =\int \frac{2{\cos }^{2}2\mathrm{x}}{2\cot 2\mathrm{x}}\mathrm{dx} \left(\because \cot \mathrm{x}-\tan \mathrm{x}=2\cot 2\mathrm{x}\right) \\ =\frac{1}{2}\int 2 \sin 2\mathrm{x} \cos 2\mathrm{x} \mathrm{dx} \\ =\frac{1}{2}\int \sin 4\mathrm{x} \mathrm{dx} \\ =\frac{1}{2}\left(\frac{-\cos 4 \mathrm{x}}{4}\right)+\mathrm{c} \\ =\frac{-1}{8} \cos 4\mathrm{x}+\mathrm{c} \end{gathered}$$