$(1+\tan 1)(1+\tan 2)(1+\tan 3)\cdots (1+\tan 42)(1+\tan 43)(1+\tan 44)(1+\tan 45)=$

$\text{A}+\text{B}=\frac{\pi }{4}\Rightarrow \tan (A+B)=\tan \frac{\pi }{4}$

$\Rightarrow \frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=1$

$\Rightarrow \tan A+\tan B=1-\tan A\tan B$

$\Rightarrow \tan A+\tan B+\tan A\tan B+1=2$

$\Rightarrow (1+\tan A)(1+\tan B)=2$

$(1+\tan 1)(1+\tan 2)(1+\tan 3)\cdots (1+\tan 42)(1+\tan 43)(1+\tan 44)(1+\tan 45)$

$=\mathrm{2.2.2.}\cdots 2\left(23\text{\hspace{0.17em}times}\right)$

$=2^{23}$