$2.C_2+6.C_3+12.C_4+....+n(n-1).C_n =$

Given $=\sum _{\mathrm{r}=2}^{\mathrm{n}} \mathrm{r}(\mathrm{r}-1) {\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}$

           $\begin{array}{rcl} & =& \sum _{\mathrm{r}=2}^{\mathrm{n}} \mathrm{r}(\mathrm{r}-1) {\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\\ & =& \sum _{\mathrm{r}=2}^{\mathrm{n}} \mathrm{r}(\mathrm{r}-1) \frac{\mathrm{n}!}{(\mathrm{n}-\mathrm{r}) ! \mathrm{r}!}\\ & =& \sum _{\mathrm{r}=2}^{\mathrm{n}} \frac{\mathrm{n}!}{(\mathrm{n}-\mathrm{r}) ! (\mathrm{r}-1) !}\\ & =& \mathrm{n}(\mathrm{n}-1) =\sum _{\mathrm{r}=2}^{\mathrm{n}} {}^{\mathrm{n}-2}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}-2}\\ & =& \mathrm{n}(\mathrm{n}-1) 2^{\mathrm{n}-2}\end{array}$