$\frac{2x^2+1}{x^3-1}=$

$\frac{2x^2+1}{x^3-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}$

$\frac{2x^2+1}{x^3-1}=\frac{A\left(x^2+x+1\right)+Bx+C\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$2x^2+1=A{x}^2+Ax+A+B{x}^2-Bx+Cx-C$

$2x^2+1=\left(A+B\right)x^2+\left(A-B+C\right)x+A-C$

$A+B=2\cdots \cdots \cdots \left(1\right)$

$A-B+C=0\cdots \cdots \cdots \left(2\right)$

$A-C=1\cdots \cdots \cdots \left(3\right)$

Eqns $\left(1\right)\&\left(2\right)$

$A+B=2$

$\underset{\_}{A-B+C=0}$

$2A+C=2\cdots \cdots \cdots \left(4\right)$

Eqns $\left(3\right)\&\left(4\right)$

$2A+C=2$

$\underset{\_}{A-C=1}$

$3A=3$

$A=1$

Eqn $\left(1\right)\Rightarrow 1+B=2$

$B=1$

Eqn $\left(3\right)\Rightarrow 1-C=1$

$C=0$

$\therefore \frac{2x^2+1}{x^3-1}=\frac{1}{x-1}+\frac{1\left(x\right)+0}{x^2+x+1}$

$=\frac{1}{x-1}+\frac{x}{x^2+x+1}$