A particular solution of $\log \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=3x+4y, y \left(0\right) = 0$  is 

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=e^{3x+4y}=e^{3x}{e}^{4y}\Rightarrow e^{-4y}\mathrm{d}y=e^{3x}\mathrm{d}x$

Thus $\frac{e^{-4y}}{-4}-\frac{e^{3x}}{3}=$ Const. But $y$ $\left(0\right)=0,$so, $-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}=C.$

Hence $\left(e^{-4y}/(-4)\right)-\left(e^{3x}/3\right)=-7/12\Rightarrow 3e^{-4y}+4e^{3x}=7$