A unit vector in the plane of the vectors $2\overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}}, \overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}}$  and orthogonal to $5\overline{\mathrm{i}}+2\overline{\mathrm{j}}+6\overline{\mathrm{k}}$ is

$$\begin{gathered} \overline{\mathrm{d}}=\mathrm{xi}+\mathrm{yj}+\mathrm{zk} \overline{\mathrm{a}}=\mathrm{zi}+\mathrm{j}+\mathrm{k} \overline{\mathrm{b}}=\mathrm{i}-\mathrm{j}+\mathrm{k} \\ \overline{\mathrm{c}}=5\mathrm{i}+2\mathrm{j}+6\mathrm{k} \\ [\overline{\mathrm{d}} \overline{\mathrm{a}} \overline{\mathrm{b}}]=0 \Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}\mathrm{x}& \mathrm{y}& \mathrm{z}\\ 2& 1& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right|=0 \\ \Rightarrow \mathrm{x}(1+1)-\mathrm{y}(2-1)+\mathrm{z}(-2-1)=0 \\ 2\mathrm{x}-\mathrm{y}-3\mathrm{z}=0 \overline{) \mathrm{y}=-3\mathrm{z}} \\ \overline{\mathrm{j}}·\overline{\mathrm{c}}=0 \Rightarrow 5\mathrm{x}+2\mathrm{y}+6\mathrm{z}=0 \overline{) {\mathrm{x}}^2}+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2=1 \\ 4\mathrm{x}-2\mathrm{y}-6\mathrm{z}=0 \overline{) 0+9{\mathrm{z}}^2+{\mathrm{z}}^2=1} \\ \underline{5\mathrm{x}+2\mathrm{y}+6\mathrm{z}=0 } \overline{) \mathrm{z}=\pm \frac{1}{\sqrt{10}}} \\ 9\mathrm{x}=0 \overline{) \overline{\mathrm{d}} }=\pm \frac{1}{\sqrt{10}} \\ (3\mathrm{j}-\mathrm{k}) \mathrm{x}=0 \\ =\pm \frac{(3\mathrm{j}-\mathrm{k})}{\sqrt{10}} \end{gathered}$$