A unit vector orthogonal to the vector $3\overline{\mathrm{i}} + 2\overline{\mathrm{j}} + 6\overline{\mathrm{k}}$ and coplanar with the vectors $2\overline{\mathrm{i}} + \overline{\mathrm{j}} + \overline{\mathrm{k}}$ and $\overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}}$ is

$$\begin{gathered} \mathrm{Let} \overline{\mathrm{d}}=\mathrm{xi}+\mathrm{yj}+\mathrm{zk} \Rightarrow {\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2=1 \\ \overline{\mathrm{d}}.\overline{\mathrm{a}}=0 \Rightarrow 3\mathrm{x}+2\mathrm{y}+6\mathrm{z}=0 - \left(1\right) \\ \overline{\mathrm{d}}, \overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}} \mathrm{are} \mathrm{coplanar} \Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}\mathrm{x}& \mathrm{y}& \mathrm{z}\\ 2& 1& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right|=0 \\ \mathrm{x}(1+1)-\mathrm{y}(2-1)+\mathrm{z}(-2-1)=0 \\ \Rightarrow 2\mathrm{x}-\mathrm{y}-3\mathrm{z}=0 - \left(2\right) \\ \begin{array}{c}3\mathrm{x}+2\mathrm{y}+6\mathrm{z}=0\\ \underline{4\mathrm{x}-2\mathrm{y}-6\mathrm{z}=0}\\ 7\mathrm{x}=0\Rightarrow \mathrm{x}=0\end{array}\overline{)\begin{array}{c}\mathrm{y}=-3\mathrm{z}\\ {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2=1\\ 0+9{\mathrm{z}}^2+{\mathrm{z}}^2=1\\ \mathrm{z}=\pm \frac{1}{\sqrt{10}}\end{array}} \\ \overline{\mathrm{d}}=\pm \frac{1}{\sqrt{10}}(-3\mathrm{j}+\mathrm{k}) \end{gathered}$$