A unit vector orthogonal to the vector $3\overline{\mathrm{i}}+4\overline{\mathrm{j}}+5\overline{\mathrm{k}}$ and coplanar with the vectors $\overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}}$ and $\overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}}$ is

$$\begin{gathered} \overline{\mathrm{a}}=\mathrm{xi}+\mathrm{yj}+\mathrm{zk} \\ \overline{\mathrm{b}}=3\mathrm{i}+4\mathrm{j}+5\mathrm{k} \Rightarrow \overline{\mathrm{a}}·\overline{\mathrm{b}}=0 \\ \Rightarrow 3\mathrm{x}+4\mathrm{y}+5\mathrm{z}=0 \\ \overline{\mathrm{c}}=\mathrm{i}+\mathrm{j}+\mathrm{k} \\ \overline{\mathrm{d}}=\mathrm{i}-\mathrm{j}+\mathrm{k} \\ \left[\overline{\mathrm{a}} \overline{\mathrm{c}} \overline{\mathrm{d}}\right]=0 \Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}\mathrm{x}& \mathrm{y}& \mathrm{z}\\ 1& 1& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right| =0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \mathrm{x}\left(2\right)-\mathrm{y}\left(0\right)+\mathrm{z}(-2)=0 \\ \mathrm{x}=\mathrm{z} \\ 3\mathrm{x}+4\mathrm{y}+5\mathrm{x}=0 \Rightarrow \mathrm{y}=-2\mathrm{x} \\ \overline{\mathrm{a}} =\frac{\mathrm{i}-2\mathrm{j}+\mathrm{k}}{\sqrt{6}} \end{gathered}$$