A vector of magnitude $\sqrt{51}$ which makes equal angles with the vectors $\overline{\mathrm{a}}=\frac{1}{3}\left(\overline{\mathrm{i}}-2\overline{\mathrm{j}}+2\overline{\mathrm{k}}\right), \overline{\mathrm{b}}=\frac{1}{5}\left(-4\overline{\mathrm{i}}-3\overline{\mathrm{k}}\right)$ and $\overline{\mathrm{c}}=\overline{\mathrm{j}},$ is

$$\begin{gathered} \overline{\mathrm{r}}=\mathrm{xi}+\mathrm{yj}+\mathrm{zk} \left|\overline{\mathrm{r}}\right|=\sqrt{51} \\ \overline{)\underline{\overline{\mathrm{r}}, \overline{\mathrm{a}}}}=\overline{)\underline{\overline{\mathrm{r}}, \overline{\mathrm{b}}}}=\overline{)\underline{\overline{\mathrm{r}}, \overline{\mathrm{c}}}} \\ \frac{\overline{\mathrm{r}}.\overline{\mathrm{a}}}{\left|\overline{\mathrm{r}}\right|\left| \overline{\mathrm{a}}\right|}=\frac{\overline{\mathrm{r}}.\overline{\mathrm{b}}}{\left|\overline{\mathrm{r}}\right|\left| \overline{\mathrm{b}}\right|}=\frac{\overline{\mathrm{r}}.\overline{\mathrm{c}}}{\left|\overline{\mathrm{r}}\right| \left|\overline{\mathrm{c}}\right|} \\ \frac{\mathrm{x}-2\mathrm{y}+2\mathrm{z}}{3}=\frac{-4\mathrm{x}-3\mathrm{z}}{5}=\frac{\mathrm{y}}{1}=\mathrm{k} \\ \overline{)\begin{array}{c}\mathrm{y}=\mathrm{k}\end{array}}\begin{array}{c} \mathrm{x}+2\mathrm{z}=5\mathrm{k}\\ 4\mathrm{x}+8\mathrm{z}=20\mathrm{k}\\ \underline{-4\mathrm{x}-3\mathrm{z}=5\mathrm{k}}\end{array}\overline{)\begin{array}{c}-4\mathrm{x}-3\mathrm{z}=5\mathrm{k}\\ \mathrm{x}=5\mathrm{k}-10\mathrm{k}\\ =-5\mathrm{k}\end{array}} \\ 5\mathrm{z}=25\mathrm{k} \\ \mathrm{z}=5\mathrm{k} \\ {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2=51 \Rightarrow 25{\mathrm{k}}^2+{\mathrm{k}}^2+25{\mathrm{k}}^2=51 \\ \Rightarrow \mathrm{k}=\pm 1 \\ \overline{\mathrm{r}} =-5\mathrm{i}+\mathrm{j}+5\mathrm{k} \mathrm{or} 5\mathrm{i}-\mathrm{j}-5\mathrm{k} \end{gathered}$$