$\overrightarrow{\mathrm{a}}=2\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}=\hat{\mathrm{i}}+2\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}$ and a unit vector $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ are coplanar. If $\overrightarrow{\mathrm{c}}$ is perpendicular to $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ then

$$\begin{gathered} \mathrm{Let} \overline{\mathrm{c}}=\mathrm{xi}+\mathrm{yj}+\mathrm{zk} \\ \left[\overline{\mathrm{a}} \overline{\mathrm{b}} \overline{\mathrm{c}}\right]=0 \Rightarrow \left|\begin{array}{ccc}\mathrm{x}& \mathrm{y}& \mathrm{z}\\ 2& 1& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\right|=0 \\ \mathrm{x}(-3)-\mathrm{y}(-3) +\mathrm{z}\left(3\right) =0 \\ -\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=0 -\left(1\right) \\ \overline{\mathrm{c}}·\overline{\mathrm{a}}=0 \Rightarrow 2\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=0 -\left(2\right) \\ \left(2\right)-\left(1\right) \Rightarrow 3\mathrm{x}=0 \Rightarrow \mathrm{x}=0, \mathrm{y}=-\mathrm{z} \\ {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2=1 \Rightarrow 2{\mathrm{y}}^2=1 \Rightarrow \mathrm{y}=\pm \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\sqrt{2}$}\right. \\ \overline{\mathrm{c}}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} (\mathrm{j}-\mathrm{k}) \end{gathered}$$