$\overrightarrow{a}$ and $\overrightarrow{c}$ are unit vectors and $\left|\overrightarrow{b}\right|=4$ . If angle between $\overrightarrow{b}$ and $\overrightarrow{c}$is ${\cos }^{-1} \left(\frac{1}{4}\right)$ and $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}$ then $\overrightarrow{b}=\lambda \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{c}$ , where $\lambda$ is equal to____

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c})=\overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{a} and \overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}$ are collinear

$\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}=\lambda \overrightarrow{a}$

$\left|\overrightarrow{b}\right|+4\left|\overrightarrow{c}\right|-4\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}={\lambda }^2|\overrightarrow{a}{|}^2$

$$\begin{gathered} =16+4-4\left(4\right)\left(1\right)\frac{1}{4}={\lambda }^2\left(1\right) \\ \Rightarrow {\lambda }^2=16 \end{gathered}$$

$\Rightarrow {\lambda }^2=\pm 4$