$\mathrm{ABC}$ is an equilateral triangle of side $‘\mathrm{a}’.$ Then $\overline{\mathrm{AB}}.\overline{\mathrm{BC}}+\overline{\mathrm{BC}}.\overline{\mathrm{CA}}+\overline{\mathrm{CA}}.\overline{\mathrm{AB}}=$

$\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=0\\ |\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}{|}^2=0\\ |\overrightarrow{AB}{|}^2+|\overrightarrow{BC}{|}^2+|\overrightarrow{CA}{|}^2+2\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}\right)=0\\ 2\left(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}\right)=-\left(|\overrightarrow{AB}{|}^2+|\overrightarrow{BC}{|}^2+|\overrightarrow{CA}{|}^2\right)\\ =-\left(a^2+a^2+a^2\right)\text{ since },\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{CA}\right|=a\\ =-3a^2\\ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=-3/2a^2\end{array}$