$\int \frac{a+b\sin x}{{(b+a\sin x)}^2}dx$

$\begin{array}{l}\int \frac{\mathrm{a}+\mathrm{bsinx}}{{(\mathrm{b}+\mathrm{asinx})}^2}\mathrm{dx}\\ \int \frac{\mathrm{a} {\sec }^2\mathrm{x}+\mathrm{b} \tan \mathrm{x} \sec \mathrm{x}}{{(\mathrm{b} \sec \mathrm{x}+\mathrm{a} \mathrm{tanx})}^2}\\ \left(\mathrm{multiply} \mathrm{Nr}. \mathrm{and} \mathrm{Dr}. \mathrm{by} {\sec }^2\mathrm{x}\right)\end{array}$
$\begin{array}{rcl}\mathrm{Put} \mathrm{b} \sec \mathrm{x}+\mathrm{a} \tan \mathrm{x}& =& \mathrm{t}\\ \Rightarrow (\mathrm{b} \sec \mathrm{x} \tan \mathrm{x}+\mathrm{a} {\sec }^2\mathrm{x})\mathrm{dx}& =& \mathrm{dt}\end{array}$
$\begin{array}{rcl}I& =& \int \frac{\mathrm{dt}}{{\mathrm{t}}^2}\\ & =& \frac{-1}{\mathrm{t}}+\mathrm{c}\\ & =& \frac{-1}{\mathrm{b} \sec \mathrm{x}+\mathrm{a} \tan \mathrm{x}}+\mathrm{c}\\ & =& \frac{- \cos x}{\mathrm{b}+\mathrm{a} \sin \mathrm{x}}+\mathrm{c}\end{array}$