Coefficient of ${\mathrm{x}}^{\mathrm{r}}$ in $1+\left(1+\mathrm{x}\right)+{\left(1+\mathrm{x}\right)}^2+\dots {\left(1+\mathrm{x}\right)}^{\mathrm{n}}$ is

$1+(1+\mathrm{x})+{(1+\mathrm{x})}^2+.....+{(1+\mathrm{x})}^{\mathrm{n}}$

The Cofficient of ${\mathrm{x}}^{\mathrm{r}}$

           $$\begin{gathered} ={}^{\mathrm{r}}{\mathrm{c}}_{\mathrm{r}}+{}^{\mathrm{r}+1}{\mathrm{c}}_{\mathrm{r}+1}+{}^{\mathrm{r}+2}{\mathrm{c}}_{\mathrm{r}+2}+.... \\ =1\frac{\left[{\left(1+\mathrm{x}\right)}^{\mathrm{n}+1}-1\right]}{1+\mathrm{x}-1} \\ =\frac{{(1+\mathrm{x})}^{\mathrm{n}+1}-1}{\mathrm{x}} \end{gathered}$$

Cofficient of ${\mathrm{x}}^{\mathrm{r}}={}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{c}}_{\mathrm{r}+1}$