Column - I		Column - II
a.	$\int \frac{{\mathrm{x}}^2-1}{\left({\mathrm{x}}^2+1\right)\sqrt{{\mathrm{x}}^4+1}}\mathrm{dx}=$	p.	$\frac{-\cot (\mathrm{x}+\mathrm{\alpha })}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}+\mathrm{c},\mathrm{\alpha }={\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right)$
b.	$\int \frac{\mathrm{dx}}{(\mathrm{asin}\mathrm{x}+\mathrm{bcos}\mathrm{x}{)}^2}=$	q.	${\sin }^{-1}\mathrm{x}+\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}-\sqrt{\frac{1-\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}}+\mathrm{c}$
c.	$\int \frac{1+\mathrm{xcos}\mathrm{x}}{\mathrm{x}\left(1-{\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{2\sin \mathrm{x}}\right)}\mathrm{dx}=$	r.	$\frac{1}{\sqrt{2}}{\sec }^{-1}\left(\frac{{\mathrm{x}}^2+1}{\sqrt{2}\mathrm{x}}\right)+\mathrm{c}$
d.	$\int \frac{2-{\mathrm{x}}^2}{(1+\mathrm{x})\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx}=$	s.	$\frac{1}{2}\log \left|\frac{{\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{2\sin \mathrm{x}}}{1-{\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{2\sin \mathrm{x}}}\right|+\mathrm{c}$

A)
 $$\begin{gathered} I=\int \frac{{\mathrm{x}}^2-1}{\left({\mathrm{x}}^2+1\right)\sqrt{{\mathrm{x}}^4+1}}\mathrm{dx} \\ =\int \frac{\left(1-\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\right)\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}\right)\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}}} \\ \text{ put }\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}=\mathrm{t}; \\ I=\int \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}\sqrt{{\mathrm{t}}^2-2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}{\sec }^{-1}\left(\frac{\mathrm{t}}{\sqrt{2}}\right)+\mathrm{c}=\frac{1}{\sqrt{2}}{\sec }^{-1}\left(\frac{{\mathrm{x}}^2+1}{\sqrt{2}\mathrm{x}}\right)+\mathrm{c} \end{gathered}$$

B)
  $$\begin{gathered} I=\int \frac{\mathrm{dx}}{(\mathrm{asin}\mathrm{x}+\mathrm{bcos}\mathrm{x}{)}^2}= \\ \mathrm{put} \mathrm{a}=\mathrm{rcos}\mathrm{\alpha },\mathrm{b}=\mathrm{rsin}\mathrm{\alpha } \\ \mathrm{I}=\int \frac{\mathrm{dx}}{{\mathrm{r}}^2{\left(\sin \left(\mathrm{x}+\mathrm{\alpha }\right)\right)}^2} \\ =\frac{-\cot (\mathrm{x}+\mathrm{\alpha })}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}+\mathrm{c},\mathrm{\alpha }={\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right) \end{gathered}$$

C) $\mathrm{I}=\int \frac{1+\mathrm{xcos}\mathrm{x}}{\mathrm{x}\left\{1-{\left({\mathrm{xe}}^{\sin \mathrm{x}}\right)}^2\right\}}\mathrm{dx}=\int \frac{(1+\mathrm{xcos}\mathrm{x}){\mathrm{e}}^{\sin \mathrm{x}}}{{\mathrm{xe}}^{\sin \mathrm{x}}\left\{1-{\left({\mathrm{xe}}^{\sin \mathrm{x}}\right)}^2\right\}}\mathrm{dx}$$=\int \frac{1}{{\mathrm{xe}}^{\sin \mathrm{x}}\left\{1-{\left({\mathrm{xe}}^{\sin \mathrm{x}}\right)}^2\right\}}\mathrm{d}\left({\mathrm{xe}}^{\sin \mathrm{x}}\right)=\int \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}\left(1-{\mathrm{t}}^2\right)}$

Where $\mathrm{t}={\mathrm{xe}}^{\sin \mathrm{x}}$

D)
 $$\begin{gathered} I=\int \frac{2-{\mathrm{x}}^2}{(1+\mathrm{x})\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx}=\int \frac{\left(1-{\mathrm{x}}^2\right)+1}{(1+\mathrm{x})\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx} \\ =\int \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}dx+\int \frac{1}{(1+\mathrm{x})\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx} \\ =\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx+I_1 \\ ={\sin }^{-1}x+\sqrt{1-x^2}+I_1 \end{gathered}$$
 

$now put 1+\mathrm{x}=\frac{1}{\mathrm{t}},\mathrm{dx}=\frac{-1}{{\mathrm{t}}^2}\mathrm{dx}\text{ and }\mathrm{x}=\frac{1-\mathrm{t}}{\mathrm{t}}\text{ in }{\mathrm{I}}_1\text{, }$

we get
$$\begin{gathered} {\mathrm{I}}_1=\int \frac{1}{\frac{1}{\mathrm{t}}\sqrt{1-{\left(\frac{1-\mathrm{t}}{\mathrm{t}}\right)}^2}}\mathrm{x}\left(\frac{-1}{{\mathrm{t}}^2}\mathrm{dt}\right) \\ =\int \frac{-\mathrm{dt}}{\sqrt{2\mathrm{t}-1}} \\ =-\sqrt{2\mathrm{t}-1} \end{gathered}$$
$I={\sin }^{-1}\mathrm{x}+\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}-\sqrt{\frac{1-\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}}+\mathrm{c}$