Consider the following relations $\mathrm{R}=\{\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)/\mathrm{x},\mathrm{y}$ are real numbers and x=wy for some rational number w}, $\mathrm{S}=\{\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}},\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\right)/\mathrm{m},\mathrm{n},\mathrm{p} \mathrm{and} \mathrm{q}$ integers such that, $\mathrm{n},\mathrm{p}\ne 0 \mathrm{and} \mathrm{qm}=\mathrm{pm}\}$ then

$$\begin{gathered} \mathrm{We} \mathrm{have} \left(\mathrm{x},\mathrm{x}\right)\in \mathrm{R} \mathrm{for} \mathrm{w}=1 \mathrm{in} \mathrm{plying} \mathrm{that} \mathrm{R} \mathrm{is} \mathrm{reflexive} \mathrm{for} \mathrm{a}\ne 0,(\mathrm{a},0)\notin \mathrm{R} \mathrm{for} \mathrm{any} \mathrm{W} \mathrm{but} \\ \left(0,\mathrm{a}\right)\in \mathrm{R}. \mathrm{Then} \mathrm{R} \mathrm{is} \mathrm{not} \mathrm{symmeric} \\ \mathrm{Hence} \mathrm{R} \mathrm{is} \mathrm{not} \mathrm{an} \mathrm{equivalence} \mathrm{relation} \\ \mathrm{As}\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}},\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}\right)\in \mathrm{s} \\ \because \mathrm{mn}=\mathrm{mn}, \mathrm{S} \mathrm{is} \mathrm{reflexive} \\ \left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}},\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\right)\in \mathrm{s}\Rightarrow \mathrm{qm}=\mathrm{pn} \\ \Rightarrow \mathrm{np}=\mathrm{mq} \\ \Rightarrow \left(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}},\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}\right)\in \mathrm{s}, \mathrm{So} \mathrm{S} \mathrm{is} \mathrm{symmetric} \\ \mathrm{again} \left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}},\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\right)\in \mathrm{s} \mathrm{and} \left(\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}},\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right)\in \mathrm{s} \mathrm{means} \\ \mathrm{qm}=\mathrm{pn} \mathrm{and} \mathrm{bp}=\mathrm{aq} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}\mathrm{and} \frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\Rightarrow \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}} \\ \mathrm{So}\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}},\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right)\in \mathrm{S} \\ \mathrm{This} \mathrm{means} \mathrm{S} \mathrm{is} \mathrm{transistive} \end{gathered}$$