Constructing a  $3\times 4$ matrix $A=\left[a_{ij}\right]$, whose element $a_{ij}$ is given by $\frac{{(i+j)}^2}{2}$ is

$A={\left(a_{ij}\right)}_{3\times 4}$

$a_{ij}=\frac{{(i+j)}^2}{2}$

$A=\left[\begin{array}{cccc}\frac{{(1+1)}^2}{2}& \frac{{(1+2)}^2}{2}& {\frac{(1+3)}{2}}^2& \frac{{(1+4)}^2}{2}\\ \frac{{(2+1)}^2}{2}& \frac{{(2+2)}^2}{2}& \frac{{(2+3)}^2}{2}& \frac{{(2+4)}^2}{2}\\ \frac{{(3+1)}^2}{2}& \frac{{(3+2)}^2}{2}& \frac{{(3+3)}^2}{2}& \frac{{(3+4)}^2}{2}\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cccc}2& \frac{9}{2}& 8& \frac{25}{2}\\ \frac{9}{2}& 8& \frac{25}{2}& 18\\ 8& \frac{25}{2}& 18& \frac{49}{2}\end{array}\right]$