${\cos }^{-1}\sqrt{\frac{\mathrm{a}-\mathrm{x}}{\mathrm{a}-\mathrm{b}}}={\sin }^{-1}\sqrt{\frac{\mathrm{x}-\mathrm{b}}{\mathrm{a}-\mathrm{b}}}$is possible if

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{a}-\mathrm{x}}{\mathrm{a}-\mathrm{b}}>0, \frac{\mathrm{x}-\mathrm{b}}{\mathrm{a}-\mathrm{b}}>0 \\ \mathrm{a}-\mathrm{b}>0\Rightarrow \mathrm{a}>\mathrm{b} \mathrm{a}-\mathrm{x}>0 \mathrm{x}-\mathrm{b}>0 \\ \mathrm{a}>\mathrm{x}>\mathrm{b} \\ \mathrm{a}-\mathrm{b}<0\Rightarrow \mathrm{a}<\mathrm{b} \mathrm{a}-\mathrm{x}<0 \mathrm{x}-\mathrm{b}<0 \\ \mathrm{a}<\mathrm{x}<\mathrm{b} \end{gathered}$$