$\mathrm{Cos}\left\{{\tan }^{-1}\left(\mathrm{Sin}\left[{\mathrm{Cot}}^{-1}\mathrm{x}\right]\right)\right\}=$

$\begin{array}{l}{\mathrm{Cot}}^{-1}\mathrm{x}=\mathrm{\alpha }\Rightarrow \mathrm{Cot}\mathrm{\alpha }=\mathrm{x}\\ \mathrm{Sin}\left[{\mathrm{Cot}}^{-1}\mathrm{x}\right]=\mathrm{Sin}\mathrm{\alpha }=\frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{x}}^2}}\\ {\mathrm{Tan}}^{-1}\left(\mathrm{Sin}\left({\mathrm{Cot}}^{-1}\mathrm{x}\right)\right)={\mathrm{Tan}}^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{x}}^2}}\right)=\mathrm{\beta }\Rightarrow \mathrm{Tan}\mathrm{\beta }=\frac{1}{\sqrt{1+{\mathrm{x}}^2}}\\ \mathrm{Cos}\mathrm{\beta }=\sqrt{\frac{1+{\mathrm{x}}^2}{2+{\mathrm{x}}^2}}\end{array}$