${\mathrm{cosec}}^{-1}\sqrt{5}+{\mathrm{cosec}}^{-1}\sqrt{65}+{\mathrm{cosec}}^{-1}\sqrt{325}+\dots \mathrm{\infty }=$

$\begin{array}{l}{\mathrm{cosec}}^{-}\sqrt{5}+{\mathrm{cosec}}^{-}\sqrt{65}+{\mathrm{cosec}}^{-1}\sqrt{325}+\dots \\ ={\tan }^{-}\frac{1}{2}+{\tan }^{-}\frac{1}{8}+{\tan }^{-}\frac{1}{18}+\dots .+{\tan }^{-}\frac{1}{2{\mathrm{n}}^2}+\dots \\ =\mathrm{Lt}\sum _{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }} \sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}} {\tan }^{-1}\frac{1}{2{\mathrm{n}}^2}\\ {\mathrm{L}}_{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }}\sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}} {\tan }^{-1}\left(\frac{(2\mathrm{n}+1)-(2\mathrm{n}-1)}{1+(2\mathrm{n}-1)(2\mathrm{n}+1)}\right)\\ \underset{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{Lt}}\sum _{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{n}} \left[{\tan }^{-1}(2\mathrm{n}+1)-{\tan }^{-1}(2\mathrm{n}-1)\right]\\ =\mathrm{Lt}\left[{\tan }^{-1}(2\mathrm{n}+1)-{\tan }^{-1}1\right]\\ ={\tan }^{-1}\mathrm{\infty }\frac{\mathrm{\pi }}{4}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{4}=\frac{\mathrm{\pi }}{4}\end{array}$