$\int \frac{\cos \mathrm{x}-\sin \mathrm{x}}{1+\sin 2\mathrm{x}}\mathrm{dx}$ is equal to

$\begin{array}{l}\mathrm{Let}\mathrm{I}=\int \frac{\cos \mathrm{x}-\sin \mathrm{x}}{1+\sin 2\mathrm{x}}\mathrm{dx}\\ =\int \frac{\cos \mathrm{x}-\sin \mathrm{x}}{{\sin }^2\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{x}+2\sin \mathrm{xcos}\mathrm{x}}\mathrm{dx}\\ \left[\because {\sin }^2\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{x}=1;\sin 2\mathrm{x}=2\sin \mathrm{xcos}\mathrm{x}\right]\\ =\int \frac{\cos \mathrm{x}-\sin \mathrm{x}}{(\sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}{)}^2}\mathrm{dx}\end{array}$

Let $\cos \mathrm{x}+\sin \mathrm{x}=\mathrm{t}\Rightarrow -\sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}=\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \mathrm{dx}=\frac{\mathrm{dt}}{(\cos \mathrm{x}-\sin \mathrm{x})}\\ \therefore \mathrm{I}=\int \frac{\cos \mathrm{x}-\sin \mathrm{x}}{{\mathrm{t}}^2}\cdot \frac{\mathrm{dt}}{(\cos \mathrm{x}-\sin \mathrm{x})}=\int \frac{1}{{\mathrm{t}}^2}\mathrm{dt}=\int {\mathrm{t}}^{-2}\mathrm{dt}\\ =\frac{{\mathrm{t}}^{-2+1}}{-2+1}+\mathrm{C}=\frac{-1}{\cos \mathrm{x}+\sin \mathrm{x}}+\mathrm{C}\end{array}$