$\int \frac{\cot \mathrm{x}}{1+{\sin }^2\mathrm{x}}\mathrm{dx}=$

$\mathrm{I}=\int \frac{\cot \mathrm{x}}{1+{\sin }^2\mathrm{x}}=\int \frac{\cos \mathrm{x}}{\sin \mathrm{x}\left(1+{\sin }^2\mathrm{x}\right)}$

multiply and divide by $\mathrm{sinx}$

$\int \frac{\cos \mathrm{x}\cdot \sin \mathrm{x}}{{\sin }^2\mathrm{x}\left(1+{\sin }^2\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx}$

$=\int \frac{\mathrm{dt}}{2\left(\mathrm{t}\right)(1+\mathrm{t})}=\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{t}\right)(1+\mathrm{t})}$

$\frac{1}{\left(\mathrm{t}\right)(1+\mathrm{t})}=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{t}}+\frac{\mathrm{B}}{1+\mathrm{t}}\Rightarrow 1=\mathrm{A}(1+\mathrm{t})+\mathrm{B}\left(\mathrm{t}\right)$

                                    $\Rightarrow 1=\mathrm{A}+\mathrm{At}+\mathrm{Bt}$

                $\begin{array}{l}\mathrm{A}=1\\ \mathrm{A}+\mathrm{B}=0\\ \mathrm{A}=-\mathrm{B}\\ \Rightarrow \mathrm{B}=-1\end{array}$

$\frac{1}{2}\int \frac{1}{\left(\mathrm{t}\right)(1+\mathrm{t})}\mathrm{dt}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\mathrm{t}}-\frac{1}{1+\mathrm{t}}\right)\mathrm{dt}$

$=\frac{1}{2}\left[\int \left(\frac{1}{\mathrm{t}}\right)\mathrm{dt}-\int \left(\frac{1}{1+\mathrm{t}}\right)\mathrm{dt}\right]$

$=\frac{1}{2}\left[\log \left|\mathrm{t}\right|-\log |1+\mathrm{t}|\right]+\mathrm{C}$

$=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\log \left|{\sin }^2\mathrm{x}\right|-\frac{1}{2}\log \left|1+{\sin }^2\mathrm{x}\right|+\mathrm{c}$

$=\frac{1}{2}\cdot 2\log \sin \mathrm{x}-\frac{1}{2}\log \left|1+{\sin }^2\mathrm{x}\right|+\mathrm{C}$

$=\log \sin \mathrm{x}-\log {\left|1+{\sin }^2\mathrm{x}\right|}^{\frac{1}{2}}+\mathrm{C}$

$=\log \left|\frac{\sin \mathrm{x}}{\sqrt{1+{\sin }^2\mathrm{x}}}\right|+\mathrm{c}$