$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left\{{\mathrm{Tan}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{acos}\mathrm{x}-\mathrm{bsin}\mathrm{x}}{\mathrm{bcos}\mathrm{x}+\mathrm{asin}\mathrm{x}}\right)\right\}=$

Put $\mathrm{a}=\mathrm{r} \cos \mathrm{\theta }$, $\mathrm{b}=\mathrm{r} \sin \mathrm{\theta }$

$\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left[{\mathrm{Tan}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{acos}\mathrm{x}-\mathrm{bsin}\mathrm{x}}{\mathrm{asin}\mathrm{x}+\mathrm{bcos}\mathrm{x}}\right)\right]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left[{\mathrm{Tan}}^{-1}\frac{\cos \mathrm{\theta cos}\mathrm{x}-\sin \mathrm{\theta sin}\mathrm{x}}{\cos \mathrm{\theta sin}\mathrm{x}+\sin \mathrm{\theta cos}\mathrm{x}}\right]\\ =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left[{\mathrm{Tan}}^{-1}\frac{\cos (\mathrm{x}+\mathrm{\theta })}{\sin (\mathrm{x}+\mathrm{\theta })}\right]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left[{\mathrm{Tan}}^{-1}(\cot (\mathrm{x}+\mathrm{\theta }\left)\right)\right]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}-\mathrm{\theta }\right)=-1\end{array}$