Evaluate $\mathrm{I}=\int \frac{{\mathrm{xsin}}^{-1}\left({\mathrm{x}}^2\right)}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^4}}\mathrm{dx}$

OR

Evaluate $\int \frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}(1-2\mathrm{x})}\mathrm{dx}$

 

$$\begin{gathered} \mathrm{Let} \mathrm{I}=\int \frac{{\mathrm{xsin}}^{-1}\left({\mathrm{x}}^2\right)}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^4}}\mathrm{dx} \\ \mathrm{Put} {\sin }^{-1}\left({\mathrm{x}}^2\right)=\mathrm{t} \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^4}}\left(2\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{dt}\Rightarrow \frac{\mathrm{x}}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^4}}\mathrm{dx}=\frac{1}{2}\mathrm{dt} \\ \mathrm{I}=\int \frac{\mathrm{t}}{2}\mathrm{dt}=\frac{1}{2}\int t \mathrm{dt} \\ =\frac{1}{2}\left[\frac{{\mathrm{t}}^2}{2}\right]+\mathrm{C} \left[\because \int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}} \mathrm{dx}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+1}}{\mathrm{n}+1}\right] \\ =\frac{1}{4}{\mathrm{t}}^2+\mathrm{C} \\ =\frac{1}{4}{\left({\sin }^{-1}{\mathrm{x}}^2\right)}^2+\mathrm{C} \end{gathered}$$

OR

$$\begin{gathered} \mathrm{Let} \mathrm{I}=\int \frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}(1-2\mathrm{x})}\mathrm{dx} \\ \mathrm{Let} \frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}(1-2\mathrm{x})}=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{B}}{1-2\mathrm{x}} \\ \Rightarrow \mathrm{x}+1=\mathrm{A}(1-2\mathrm{x})+\mathrm{Bx} \\ \mathrm{Putting} \mathrm{x}=0 \mathrm{in} \mathrm{Eq}. \left(\mathrm{i}\right), \mathrm{we} \mathrm{get} \\ 1=\mathrm{A}\Rightarrow \mathrm{A}=1 \\ \mathrm{Putting} \mathrm{x}=\frac{1}{2}\mathrm{in} \mathrm{Eq}. \left(\mathrm{i}\right), \mathrm{we} \mathrm{get} \\ \frac{3}{2}=\frac{1}{2}\mathrm{B}\Rightarrow \mathrm{B}=3 \\ \therefore \frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}(1-2\mathrm{x})}=\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{3}{1-2\mathrm{x}} \\ \therefore \mathrm{I}=\int \frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}(1-2\mathrm{x})}\mathrm{dx}=\int \left(\frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{3}{1-2\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx} \\ =\int \frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}+3\int \frac{1}{1-2\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ =\int \frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}-\frac{3}{2}\int \frac{-2}{1-2\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ =\log \left|\mathrm{x}\right|-\frac{3}{2}\log \left|1-2\mathrm{x}\right|+\mathrm{C} \end{gathered}$$