Factorise the following expressions. 

(i) 7x – 42                                         (ii) 6p – 12q 

(iii) 7a² + 14a                                   (iv) – 16 z + 20 z³ 

(v) 20 l² m + 30 a l m                      (vi) 5 x² y – 15 xy² 

(vii) 10 a ² – 15 b² + 20 c²              (viii) – 4 a² + 4 ab – 4 ca 

 (ix) x ² y z + x y² z + x y z²             (x) a x² y + b x y² + c x y z

We know that, Factorization means finding out the factors of the given algebraic expression

(i) 7x $-$ 42 : 

let 7x, 42 can be written as 

7x = 7 $\times$ x 

42 = 2 $\times$ 3 $\times$ 7 

The common factors is given as 7

Hence, we get Algebraic expression as 

7x $-$ 42 = (7 $\times$ x)  $-$(2 $\times$ 3 $\times$ 7 )

= 7 (x $-$ 6)

 (ii) 6p – 12q :

let 6p, 12q can be written as 

6p = 2 $\times$ 3 $\times$ p

12q = 2 $\times$ 2 $\times$ 3 $\times$ q

The common factors are given as 2,3

Hence, we get  Algebraic expression as 

6p – 12q = ( 2 $\times$ 3 $\times$ p) $-$( 2 $\times$ 2 $\times$ 3 $\times$ q )

= 2 $\times$ 3 (p $-$ 2 $\times$ q)

= 6 (p $-$ 2q)

(iii) 7a² $+$ 14a :

let  7a², 14a can be written as 

 7a² = 7 $\times$ a $\times$ a

14a = 2 $\times$ 7 $\times$ a 

The common factors are given as 2, a

Hence, we get  Algebraic expression as 

 7a² $+$ 14a = ( 7 $\times$ a $\times$ a) $+$( 2 $\times$ 7 $\times$ a)

= 7 $\times$ a (a $+$2 )

= 7a (a $+$2)

(iv) – 16 z + 20 z³ :

let  – 16 z , 20 z³ can be written as 

 – 16 z  = -1 $\times$ 2 $\times$ 2  $\times$ 2  $\times$ 2  $\times$ z

 20 z³= 2 $\times$ 2 $\times$ 5 $\times$ z $\times$ z $\times$ z 

The common factors are given as 2, 2, a

Hence, we get  Algebraic expression as 

 – 16 z  $+$  20 z³= ( -1 $\times$ 2 $\times$ 2  $\times$ 2  $\times$ 2  $\times$ z) $+$(2 $\times$ 2 $\times$ 5 $\times$ z $\times$ z $\times$ z)

= 2 $\times$ 2 $\times$ z (- 4z $+$5z² )

= 4z(- 4z $+$5z²)

(v) 20 l² m + 30 a l m :

let 20 l² m, 30 a l m can be written as 

20 l² m = 2 $\times$ 2 $\times$ 5 $\times$ I $\times$ I $\times$ m

30 a l m = 2 $\times$ 3 $\times$ 5 $\times$ a $\times$ l $\times$ m 

The common factors are given as 2, 5, I, m

Hence, we get Algebraic expression as 

20 l² m $+$ 30 a l m = (  2 $\times$ 2 $\times$ 5 $\times$ I $\times$ I $\times$ m) $+$(2 $\times$ 3 $\times$ 5 $\times$ a $\times$ l $\times$ m )

= (2  $\times$ 5  $\times$ l $\times$ m )[(2 $\times$ I) $+$(3 $\times$ a )

= 10Im (2I $+$3a)  

(vi) 5 x² y $-$ 15 xy² :

let  5 x² y , 14a can be written as 

 5 x² y  = 5 $\times$ x $\times$ x $\times$ y

15 xy² = 5 $\times$ 3 $\times$ x $\times$ y $\times$ y

The common factors are given as 5, x, y

Hence, we get Algebraic expression as 

 5 x² y  $-$ 15 xy² = (  5 $\times$ x $\times$ x $\times$ y) $-$(5 $\times$ 3 $\times$ x $\times$ y $\times$ y)

= 5 $\times$ x $\times$ y(x $-$3$\times$ y )

= 5xy (x $-$3y)

(vii) 10 a ² – 15 b² + 20 c²   

let 10 a ² , $-$15 b² , 20 c²  can be written as 

10 a ² = 2 $\times$ 5 $\times$ a $\times$ a

15 b² = 5 $\times$ 3 $\times$ b $\times$ b 

20 c²  = 2 $\times$ 2 $\times$ 5 $\times$ c $\times$ c

The common factors are given as 5

Hence, we get Algebraic expression as 

10 a ² – 15 b² + 20 c²   = ( 2 $\times$ 5 $\times$ a $\times$ a) $-$( 5 $\times$ 3 $\times$ b $\times$ b ) $+$(2 $\times$ 2 $\times$ 5 $\times$ c $\times$ c)

= 5 ( 2 a ² – 3 b² + 4 c² )

 (viii) – 4 a² + 4 ab – 4 ca :

let  – 4 a²  , 4 ab ,– 4 ca can be written as 

– 4 a²  = $-$2 $\times$ 2 $\times$ a $\times$ a

4 ab = 2 $\times$ 2 $\times$ a $\times$ b 

– 4 ca =$-$ 2 $\times$ 2 $\times$ c $\times$ a 

The common factors are given as 2, 2, a

Hence, we get Algebraic expression as 

– 4 a²  $+$4 ab – 4 ca   = ( $-$2 $\times$ 2 $\times$ a $\times$ a) $+$( 2 $\times$ 2 $\times$ a $\times$ b  ) $-$($-$ 2 $\times$ 2 $\times$ c $\times$ a )

= 2 $\times$ 2 $\times$ a  ( $-$a + b $-$c)

 (ix) x ² y z + x y² z + x y z²  :

let   x ² y z ,  x y² z , x y z²  can be written as 

 x ² y z  = x $\times$ x $\times$ y $\times$ z

 x y² z  = x $\times$ y $\times$ y $\times$ z 

x y z²  = x $\times$ y $\times$ z $\times$ z  

The common factors are given as z, x, y

Hence, we get Algebraic expression as 

 x ² y z +  x y² z + x y z²  = ( x $\times$ x $\times$ y $\times$ z) +( x $\times$ y $\times$ y $\times$ z) + ( x $\times$ y $\times$ z $\times$ z  )

= x $\times$ y $\times$ z(x + y + z )

= xyz (x + y + z)

(x) a x² y + b x y² + c x y z:

let    a x² y  ,   b x y² , c x y z can be written as 

 a x² y  = a $\times$ x $\times$ x $\times$ y

 b x y²   = b $\times$ x $\times$ y $\times$ y

c x y z  = c $\times$ x $\times$ y $\times$ z 

The common factors are given as z, x, y

Hence, we get Algebraic expression as 

 a x² y  +   b x y² + c x y z  = ( a $\times$ x $\times$ x $\times$ y) +(  b $\times$ x $\times$ y $\times$ y) + ( c $\times$ x $\times$ y $\times$ z   )

= x $\times$ y (ax + by +cz )

= xy (ax + by +cz)