Find the equation of the circle cutting orthogonally to the circles ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-4\mathrm{x}-6\mathrm{y}+11=0$ ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-10\mathrm{x}-4\mathrm{y}+21=0\text{ and has }2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=7$ as diameter.

Given circles are
$\begin{array}{l}{\mathrm{s}}^{\mathrm{\prime }}={\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-4\mathrm{x}-6\mathrm{y}+11=0\\ {\mathrm{s}}^{\prime \prime }={\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-10\mathrm{x}-4\mathrm{y}+21=0\end{array}$
Let required circle be
$\begin{array}{l}\mathrm{s}={\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+2\mathrm{gx}+2\mathrm{fy}+\mathrm{c}=0\\ \mathrm{s}=0,{\mathrm{s}}^{\mathrm{\prime }}=0\text{ are orthogonal }\\ \Rightarrow 2\mathrm{g}(-2)+2\mathrm{f}(-3)=\mathrm{c}+11\\ \Rightarrow -4\mathrm{g}-6\mathrm{f}=\mathrm{c}+11\dots .\left(1\right)\\ \mathrm{s}=0,\mathrm{s}"=0\text{ are orthogonal }\\ \Rightarrow 2\mathrm{g}(-5)+2\mathrm{f}(-2)=\mathrm{c}+21\\ \Rightarrow -10\mathrm{g}-4\mathrm{f}=\mathrm{c}+21\dots \left(2\right)\end{array}$
$\text{ Centre }(-\mathrm{g},-\mathrm{f})\text{ lies on diameter }2\mathrm{x}+3\mathrm{y}=7$
$\begin{array}{l}\Rightarrow 2(-\mathrm{g})+3(-\mathrm{f})=7\\ \Rightarrow -2\mathrm{g}-3\mathrm{f}=7\dots \left(3\right)\\ -4\mathrm{g}-6\mathrm{f}=\mathrm{c}+11\\ \frac{ -10\mathrm{g}-4\mathrm{f}=\mathrm{c}+21}{ \left(1\right)-\left(2\right)\Rightarrow 6\mathrm{g}-2\mathrm{f}=-10 ...\left(4\right)}\\ \end{array}$
Solving (3) & (4)
$\begin{array}{r}\Rightarrow 6\mathrm{g}-2\mathrm{f}=-10\\ \left(3\right)\times 3\Rightarrow -6\mathrm{g}-9\mathrm{f}=21\\ -11\mathrm{f}=11\end{array}$
$\begin{array}{l}\Rightarrow \mathrm{f}=-1\text{ sub. in (4) }\\ \text{ (4) }\Rightarrow 6\mathrm{g}-2(-1)=-10\\ \Rightarrow 6\mathrm{g}+2=-10\Rightarrow 6\mathrm{g}=-12\\ \Rightarrow \mathrm{g}=-2\end{array}$
$\text{ Put }\mathrm{g},\mathrm{f}\text{ in (1) }-4(-2)-6(-1)=\mathrm{c}+11$
$\Rightarrow 8+6=\mathrm{c}+11\Rightarrow 14=\mathrm{c}+11\Rightarrow \mathrm{c}=3$
$\therefore \text{ Equation of the required circle is }{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+2(-2)\mathrm{x}+2(-1)\mathrm{y}+3=0$
$\Rightarrow {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2-4\mathrm{x}-2\mathrm{y}+3=0$