Focus of parabola $\mathrm{y}={\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$ is

$$\begin{gathered} \mathrm{y}={\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c} \\ \Rightarrow {\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}=\mathrm{y}-\mathrm{c} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}^2+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\mathrm{x}=\frac{1}{\mathrm{a}}\mathrm{y}-\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}} \\ {\mathrm{x}}^2+2\left(\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}\right)\mathrm{x}=\frac{1}{\mathrm{a}}\mathrm{y}-\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}} \\ {\mathrm{x}}^2+2\left(\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}\right)\mathrm{x}+\frac{{\mathrm{b}}^2}{4{\mathrm{a}}^2}=\frac{1}{\mathrm{a}}\mathrm{y}-\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}+\frac{{\mathrm{b}}^2}{4{\mathrm{a}}^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\left(\mathrm{x}-\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}\right)}^2=\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{a}}+\frac{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}}{4{\mathrm{a}}^2} \\ {\left(\mathrm{x}-\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}\right)}^2=\frac{1}{\mathrm{a}}\left[\mathrm{y}-\frac{4\mathrm{ac}-{\mathrm{b}}^2}{4\mathrm{a}}\right] \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{Vertex}=\left(\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}},\frac{4\mathrm{ac}-{\mathrm{b}}^2}{4\mathrm{a}}\right) \\ \mathrm{Focus}=\left(\frac{-\mathrm{b}}{2\mathrm{a}},\frac{4\mathrm{ac}-{\mathrm{b}}^2+1}{4\mathrm{a}}\right) \end{gathered}$$