For any positive integer n, $\text{ Let }{\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}:(0,\mathrm{\infty })\to \mathrm{R}$R defined by ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}\right)=\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}} {\cot }^{-1}\left(\frac{1+\mathrm{k}(\mathrm{k}+1){\mathrm{x}}^2}{\mathrm{x}}\right)$where $\mathrm{x}\in \mathrm{R},{\cot }^{-1}\mathrm{x}\in (0,\mathrm{\pi }),{\tan }^{-1}\in \left(\frac{-\mathrm{\pi }}{2},\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$then which of the following statements is (are) the TRUE?

A) ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}\right)=\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}} {\tan }^{-1}\left(\frac{(\mathrm{k}+1)\mathrm{x}-\mathrm{kx}}{1+(\mathrm{k}+1)\left(\mathrm{k}\right){\mathrm{x}}^2}\right)={\tan }^{-1}(\mathrm{nx}+\mathrm{x})-{\tan }^{-1}\mathrm{x}$
$\begin{array}{l}={\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{nx}}{1+(\mathrm{n}+1){\mathrm{x}}^2}\right)\\ {\mathrm{S}}_{11}\mathrm{x}={\tan }^{-1}\left(\frac{11\mathrm{x}}{1+12{\mathrm{x}}^2}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-{\cot }^{-1}\left(\frac{11\mathrm{x}}{1+12{\mathrm{x}}^2}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-{\tan }^{-1}\left(\frac{1+12{\mathrm{x}}^2}{112}\right)\end{array}$
B) ${\mathrm{Lt}}_{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }}\frac{1+(\mathrm{n}+1){\mathrm{x}}^2}{\mathrm{nx}}={\mathrm{Lt}}_{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }}\frac{\frac{1}{\mathrm{n}}+\left(1+\frac{1}{\mathrm{n}}\right){\mathrm{x}}^2}{\mathrm{x}}=\frac{{\mathrm{x}}^2}{\mathrm{x}}=\mathrm{x}$
C) ${\tan }^{-1}\left(\frac{3\mathrm{x}}{1+4{\mathrm{x}}^2}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{4}\to 3\mathrm{x}=1+4{\mathrm{x}}^2\Rightarrow \mathrm{\Delta }<0,\mathrm{norealroot}$
D) Let $\frac{\mathrm{nx}}{1+(\mathrm{n}+1){\mathrm{x}}^2}\le \frac{1}{2}\text{ is true }\Rightarrow 2\mathrm{nx}\le (\mathrm{n}+1){\mathrm{x}}^2+1$
$\begin{array}{l}(\mathrm{n}+1){\mathrm{x}}^2-2\mathrm{nx}+1\ge 0\\ \mathrm{\Delta }=4{\mathrm{n}}^2-4(\mathrm{n}+1),(\mathrm{n}\in \mathrm{N})\end{array}$

$\mathrm{\Delta }<0\text{ for }\mathrm{n}=1,\mathrm{\Delta }>0,\text{ for }\mathrm{n}\ge 2\text{ for some }\mathrm{x}>0$