For each $t\in R\text{, }$ let [t] denote greatest integer less than or equal to t then $\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{lim} \frac{\left(1-\left|\mathrm{x}\right|+\sin \left(\right|1-\mathrm{x}\left|\right)\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}[1-\mathrm{x}]\right)\right.}{|1-\mathrm{x}|[1-\mathrm{x}]}$

$\Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\frac{(1-|\mathrm{x}|+\sin |1-\mathrm{x}\left|\right)\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}[1-\mathrm{x}]\right)}{|1-\mathrm{x}|[1-\mathrm{x}]}$
$\Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{lim} \frac{(1-\mathrm{x})+\sin (\mathrm{x}-1))\sin \left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)}{(\mathrm{x}-1)(-1)}=\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{lim} \frac{(1-\mathrm{x})+\sin (\mathrm{x}-1)}{(\mathrm{x}-1)}$

                                                            $\Rightarrow$ -1 + 1

                                                            $\Rightarrow$0