$\text{ For non-negative integers }s\text{ and }r,\text{ let }\left(\begin{array}{l}\mathrm{s}\\ \mathrm{r}\end{array}\right)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\mathrm{s}!}{\mathrm{r}!(\mathrm{s}-\mathrm{r})!}& \text{ if }\mathrm{r}\le \mathrm{s}\\ 0& \text{ if }\mathrm{r}>\mathrm{s}\end{array}\right.\text{ For positive integers }m\text{ and }n\text{ , }$

$Let g(m,n)=\sum _{p=0}^{m+n} \frac{f(m,n,p)}{\left(\begin{array}{c}n+p\\ p\end{array}\right)}\text{where for any nonnegative integer p,f(m,n,p})=\sum _{i=0}^{\mathrm{p}} \left(\begin{array}{c}m\\ i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n+i\\ p\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}p+n\\ p-i\end{array}\right)$

$\text{ Then which of the following statements is/are TRUE? }$

$\text{solving}$

$\begin{array}{l}f(\mathrm{m},\mathrm{n},\mathrm{p})=\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{p}}{ }^{\mathrm{m}}{{\mathrm{C}}_{\mathrm{i}}}^{\mathrm{n}+\mathrm{i}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{p}}{\cdot }^{\mathrm{p}+\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{p}-\mathrm{i}}\\ now ,{ }^{\mathrm{m}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{i}}{\cdot }^{\mathrm{n}+\mathrm{i}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{p}}{\cdot }^{\mathrm{p}+\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{p}-\mathrm{i}}\\ ={ }^{\mathrm{m}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{i}}\cdot \frac{(\mathrm{n}+\mathrm{i})!}{\mathrm{p}!(\mathrm{n}-\mathrm{p}+\mathrm{i})!}\times \frac{(\mathrm{n}+\mathrm{p})!}{(\mathrm{p}-\mathrm{i})!(\mathrm{n}+\mathrm{i})!}\\ ={ }^{\mathrm{m}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{i}}\times \frac{(\mathrm{n}+\mathrm{p})!}{\mathrm{p}!}\times \frac{1}{(\mathrm{n}-\mathrm{p}+\mathrm{i})!(\mathrm{p}-\mathrm{i})!}\end{array}$

$\begin{array}{l}={ }^{\mathrm{m}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{i}}\times \frac{(\mathrm{n}+\mathrm{p})!}{\mathrm{p}!\mathrm{n}!}\times \frac{\mathrm{n}!}{(\mathrm{n}-\mathrm{p}+\mathrm{i})!(\mathrm{p}-\mathrm{i})!}\\ ={ }^{\mathrm{m}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{i}}^{\mathrm{n}+\mathrm{p}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{p}}{\cdot }^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{p}-\mathrm{i}}\left\{{ }^{\mathrm{m}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{i}}{\cdot }^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{p}-\mathrm{i}}{=}^{\mathrm{m}+\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{p}}\right\}\\ f(\mathrm{m},\mathrm{n},\mathrm{p}){=}^{\mathrm{n}+\mathrm{p}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{p}}{\cdot }^{\mathrm{m}+\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{p}}\\ \frac{f(\mathrm{m},\mathrm{n},\mathrm{p})}{{ }^{\mathrm{n}+\mathrm{p}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{p}}}{=}^{\mathrm{m}+\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{p}}\\ \text{ Now }\\ \mathrm{g}(\mathrm{m},\mathrm{n})=\sum _{\mathrm{p}=0}^{\mathrm{m}+\mathrm{n}} \frac{f(\mathrm{m},\mathrm{n},\mathrm{p})}{{ }^{\mathrm{n}+\mathrm{p}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{p}}}\\ g(m,n)=\sum _{p=0}^{m+n}{ }^{m+n}{C}_p\\ \mathrm{g}(\mathrm{m},\mathrm{n})=2^{\mathrm{m}+\mathrm{n}}\end{array}$

$\text{ (A) }\mathrm{g}(\mathrm{m},\mathrm{n})=\mathrm{g}(\mathrm{n},\mathrm{m})$

$\text{ (B) }g(m,n+1)=2^{\mathrm{m}+\mathrm{n}+1}$

$g(m+1,n)=2^{m+1+n}$

$\begin{array}{r}\text{ (D) }g(2m,2n)=2^{2m+2n}\\ ={\left(2^{\mathrm{m}+\mathrm{n}}\right)}^2\\ =\left(\mathrm{g}\right(\mathrm{m},\mathrm{n}){)}^2\end{array}$