For the equation $1-2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2={\tan }^2(\mathrm{x}+\mathrm{y})+{\cot }^2(\mathrm{x}+\mathrm{y})$

$\begin{array}{l}1-2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2={\tan }^2(\mathrm{x}+\mathrm{y})+{\cot }^2(\mathrm{x}+\mathrm{y})\\ \Rightarrow -(\mathrm{x}+1{)}^2=[\tan (\mathrm{x}+\mathrm{y})-\cot (\mathrm{x}+\mathrm{y}){]}^2\\ \text{ Now L.H.S. }\le 0\text{ and R.H.S. }\ge 0\\ \Rightarrow -(\mathrm{x}+1{)}^2=[\tan (\mathrm{x}+\mathrm{y})-\cot (\mathrm{x}+\mathrm{y}){]}^2=0\\ \Rightarrow \mathrm{x}=-1\text{ and }\tan (\mathrm{x}+\mathrm{y})=\cot (\mathrm{x}+\mathrm{y})\\ \Rightarrow \mathrm{x}=-1\text{ and }{\tan }^2(-1+\mathrm{y})=1\\ \Rightarrow \mathrm{x}=-1\text{ and }-1+\mathrm{y}=\mathrm{n\pi }\pm (\mathrm{\pi }/4),\mathrm{n}\in \mathrm{Z}\end{array}$