For the natural numbers m, n, if $(1-\mathrm{y}{)}^{\mathrm{m}}(1+\mathrm{y}{)}^{\mathrm{n}}=1+{\mathrm{a}}_1\mathrm{y}+{\mathrm{a}}_2{\mathrm{y}}^2+\dots \dots +{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}+\mathrm{n}}{\mathrm{y}}^{\mathrm{m}+\mathrm{n}}$ and ${\mathrm{a}}_1={\mathrm{a}}_2=10$, then the value of (m + n) is equal to

Given, $(1-\mathrm{y}{)}^{\mathrm{m}}(1+\mathrm{y}{)}^{\mathrm{n}}=1+{\mathrm{a}}_1\mathrm{y}+{\mathrm{a}}_2{\mathrm{y}}^2+\dots +{\mathrm{a}}_{\mathrm{m}+\mathrm{n}}{\mathrm{y}}^{\mathrm{m}+\mathrm{n}}$

Now, $(1-\mathrm{y}{)}^{\mathrm{m}}(1+\mathrm{y}{)}^{\mathrm{n}}=\left(1-\mathrm{my}{+}^{\mathrm{m}}{\mathrm{C}}_2{\mathrm{y}}^2+\dots +(-1{)}^{\mathrm{m}}{\cdot }^{\mathrm{m}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{m}}{\mathrm{y}}^{\mathrm{m}}\right)\times \left(1+\mathrm{ny}{+}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_2{\mathrm{y}}^2+..{+}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}\right)$

On expanding,

$(1-\mathrm{y}{)}^{\mathrm{m}}(1+\mathrm{y}{)}^{\mathrm{n}}=1+(\mathrm{n}-\mathrm{m})\mathrm{y}+\left({ }^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_2-\mathrm{mn}{+}^{\mathrm{m}}{\mathrm{C}}_2\right){\mathrm{y}}^2+\dots$

$\therefore \text{ Coefficient of }\mathrm{y}=\mathrm{n}-\mathrm{m}$

Coefficient of ${\mathrm{y}}^2{=}^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_2-\mathrm{mn}{+}^{\mathrm{m}}{\mathrm{C}}_2$

Given expression have

Coefficient of $\mathrm{y}={\mathrm{a}}_1=10$

Coefficient of ${\mathrm{y}}^2={\mathrm{a}}_2=10$

$\therefore \mathrm{n}-\mathrm{m}=10$          ...(i)

and ${ }^{\mathrm{n}}{\mathrm{C}}_2{+}^{\mathrm{m}}{\mathrm{C}}_2-\mathrm{mn}=10$       ...(ii)

From Eq. (ii),

$\begin{array}{l}\frac{\mathrm{n}!}{2!(\mathrm{n}-2)!}+\frac{\mathrm{m}!}{2!(\mathrm{m}-2)!}-\mathrm{mn}=10\\ \frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)}{2}+\frac{\mathrm{m}(\mathrm{m}-1)}{2}-\mathrm{mn}=10\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \mathrm{n}(\mathrm{n}-1)+\mathrm{m}(\mathrm{m}-1)-2\mathrm{mn}=20\\ \Rightarrow {\mathrm{n}}^2-\mathrm{n}+{\mathrm{m}}^2-\mathrm{m}-2\mathrm{mn}=20\\ \Rightarrow \left({\mathrm{m}}^2+{\mathrm{n}}^2-2\mathrm{mn}\right)-(\mathrm{m}+\mathrm{n})=20\\ \Rightarrow (\mathrm{m}-\mathrm{n}{)}^2-(\mathrm{m}+\mathrm{n})=20\\ \Rightarrow (-10{)}^2-(\mathrm{m}+\mathrm{n})=20 [\mathrm{using} \mathrm{Eq}. (\mathrm{i}\left)\right]\\ \Rightarrow 100-(\mathrm{m}+\mathrm{n})=20\\ \Rightarrow \mathrm{m}+\mathrm{n}=100-20=80\end{array}$