For $\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$, let ${\tan }^{-1}\left(\mathrm{x}\right)\in \left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2},\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$. Then the minimum value of the function $\mathrm{f}:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}$ defined by $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\int }_0^{{\mathrm{xtan}}^{-1}\mathrm{x}}\frac{{\mathrm{e}}^{(\mathrm{t}-\mathrm{cost})}}{1+{\mathrm{t}}^{2023}}\mathrm{dt}$ is

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{0}{\overset{{\mathrm{xtan}}^{-1}\mathrm{x}}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{t}-\mathrm{cost}}}{1+{\mathrm{t}}^{2023}}\mathrm{dt}$
$\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{xtan}}^{-1}\mathrm{x}-\cos \left({\mathrm{xtan}}^{-1}\mathrm{x}\right)}}{1+{\left({\mathrm{xtan}}^{-1}\mathrm{x}\right)}^{2023}}\left(\frac{x}{1+x^2}+{\tan }^{-1}x\right)$
Always non zero
$\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=0\frac{\mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^2}+{\tan }^{-1}\mathrm{x}=0$

At x=0 local min
(Or)
For x>0 (or) x<0  is +ve min  happened at x=0 only logically
f(0)=0