f(x) = a [x+1] + b [x–1] is continuous at x = 1, here [x] denotes greatest integer function then

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{a}[\mathrm{x}+1]+b[\mathrm{x}-1] \mathrm{is} \mathrm{continuous} \mathrm{at} \mathrm{x}=1 \\ =\mathrm{a}\left(\left[\mathrm{x}\right]+1\right)+\mathrm{b}\left(\left[\mathrm{x}\right]-1\right) \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)+\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\left[\mathrm{x}\right] \mathrm{is} \mathrm{continuous} \mathrm{at} \mathrm{x}=1 \\ \underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ \underset{\mathrm{x}\to 1^{-}}{\lim }\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)+\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\left[\mathrm{x}\right]=\underset{\mathrm{x}\to 1^{+}}{\lim }\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)+\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\left[\mathrm{x}\right] \\ \Rightarrow \mathrm{a}-\mathrm{b}+0=\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\right)+\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)1 \\ \Rightarrow \mathrm{a}+\mathrm{b}=0 \end{gathered}$$